小球沿非固定圆弧轨道下滑速率的变化
小球沿非固定圆弧轨道下滑速率的变化
杨新民
点击下载
如图1所示，一带有光滑半圆弧轨道的滑块静放在光滑水平面上，现将一小球从圆弧轨道右端由静止释放，当小球滑至轨道最低点时，滑块速度最大是无疑问的，但小球速度是否最大呢？下面对这一问题作一下定量分析。
设滑块和小球质量分别为M和m，轨道半径为R，小球滑至任意位置时，小球速度为，滑块速度为V，小球相对滑块速度为，小球对轨道的压力为N ，小球通过的圆弧所对圆心角为，根据机械能守恒定律可得：
（1）
由方程（1）可求得小球动能对的变化率为：
（2）
以滑块为研究对象，由牛顿第二定律可知：
（3）
而小球相对滑块做圆周运动，所以
（4）
将小球速度分解为水平速度和竖直速度，小球相对滑块速度与小球水平速度、竖直速度以及滑块速度V之间的关系如图2所示，由矢量图（2）可知：
（5）
而系统水平动量守恒，根据动量守恒定律可得：
MV= （6）
联立（2）（3）（4）（5）（6）整理可得
（7）
以滑块为参考物，小球受力情况如图3所示，其中F为惯性力，且
根据牛顿第二定律可得
解方程得： （8）
由小球受力情况易知，当时，随的增大一定是增大的，由（8）式又可知是随的增大而增大的，若存在时，，那么当时，，当时，，所以，当时小球的动能最大。
是否存在这样的，只需考察小球在轨道最低点时，对轨道的最大压力能否大于。
设小球运动到最低点时小球和滑块速率分别为和，根据机械能守恒定律和动量守恒定律可求得：
（9）
根据牛顿第二定律可得：
（10）
由（9）式和（10）式解得：
令可得：
（11）
不等式（11）的解为：
由不等式的解可知，当时一定存在时，，小球动能最大。
设时，小球动能最大，根据机械能守恒定律可得：
与（5）（6）两式联立求解可得：
（12）
将（12）式代入（8）式可得：
（13）
令，整理得：
（14）
解方程（14）可得：
（15）
综上所述，当时，小球在轨道最低点时其速度最大；当时，小球在轨道最低点时速度并不是最大的，若已知M和，由（15）式可求出小球速度最大时所对应的角。例如时，。
上面的定量分析中，关键的一点是引入了小球与轨道压力大小N这个变量，把动能对的变化率用N和表示，而N与之间又有着必然的联系，从而找到了解题的突破口。因此，在求解物理问题时，引入新的变量可能使问题简化，更有可能从中找到解题的新途径。
- 相关信息
- 没有关键字相关信息!
上一篇：“铁三角”的相互转化及相关化合物的特性[ 11-17 ]
下一篇：把握细节，促进学生身心健康发展[ 11-17 ]
